Gruppo nilpotente

In matematica, un gruppo nilpotente è un gruppo ${\displaystyle G}$ che ammette una serie centrale, ovvero una successione di sottogruppi normali

${\displaystyle \{1\}\subseteq H_{1}\subseteq H_{2}\subseteq \cdots \subseteq H_{n-1}\subseteq H_{n}=G}$

tale che ogni quoziente ${\displaystyle H_{i+1}/H_{i}}$ è contenuto nel centro di ${\displaystyle G/H_{i}}$. Il minimo ${\displaystyle n}$ per cui ${\displaystyle G}$ ammette una serie centrale di lunghezza ${\displaystyle n}$ è detto indice (o classe) di nilpotenza di ${\displaystyle G}$.

I gruppi nilpotenti formano una classe intermedia tra i gruppi abeliani e i gruppi risolubili; con i primi condividono il fatto di poter essere ricostruiti (almeno per la loro parte di torsione) dai sottogruppi di Sylow, mentre con i secondi la vicinanza ai gruppi abeliani mediante serie di sottogruppi.

I gruppi nilpotenti hanno un ruolo centrale nello studio dei gruppi di Lie; nella teoria delle algebre di Lie, un'analoga definizione porta al concetto di algebra di Lie nilpotente.